Question

13．如图，等边△ABC内接于⊙O，点D是BC的中点，过点D作AB的平行线交⊙O于点E，F，则$\frac{EF}{BC}$的值是（　　）

• A． 2
• B． 1.5
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 如图，连接OC交EF于H，BE、CF，EF交AC于K．首先证明DE=KF，设BC=2a，DE=FK=x，则BD=DC=a，由△BDE∽△FDC，推出BD：DF=DE：DC，即a²=x（x+a），求出x即可解决问题．

解答 解：如图，连接OC交EF于H，BE、CF，EF交AC于K．

∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC关于OC对称，
∴OC⊥AB，
∵AB∥EF，
∴OC⊥EF，
∴HE=KF，
∵△CDK是等边三角形，CH⊥DK，
∴DH=KH，
∴DE=FK，设BC=2a，DE=FK=x，则BD=DC=a，
∵∠BDE=∠FDC，∠EBD=∠F，
∴△BDE∽△FDC，
∴BD：DF=DE：DC，
∴a²=x（x+a），
∴x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a或$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$a，
∴EF=$\sqrt{5}$a，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}a}{2a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选D．

点评 本题考查等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、垂径定理、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．