Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，2），图中的线段BD是由线段AC平移得到．

（1）线段AC经过怎样的平移可得到线段BD，所得四边形是什么图形，并求出所得的四边形ABDC的面积S_{四边形ABDC}；
（2）在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S_△PAB=S_{四边形ABDC}？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：
①

∠DCP+∠BOP

∠CPO

的值不变；②

∠DCP+∠CPO

∠BOP

的值不变，
其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,平行线的性质,三角形的面积,坐标与图形变化-平移

专题：

分析：（1）根据平移规律，向右平移四个单位，得到平行四边形ABDC，根据：四边形ABDC的面积=AB×OC求解；
（2）存在．设点P到AB的距离为h，则S_△PAB=

1

2

×AB×h，根据S_△PAB=S_{四边形ABDC}，列方程求h的值，确定P点坐标；
（3）结论①正确，过P点作PE∥AB交OC与E点，根据平行线的性质得∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，故比值为1．

解答：解：（1）依题意向右平移四个单位，得到平行四边形ABDC，根据平移规律，得到D（4，2），
∴S_{四边形ABDC}=AB×OC=4×2=8；
（2）存在．
设点P到AB的距离为h，
S_△PAB=

1

2

×AB×h=2h，
由S_△PAB=S_{四边形ABDC}，得2h=8，解得h=4，
∴P（0，4）或（0，-4）；
（3）结论①正确，
过P点作PE∥AB交OC与E点，
∵AB∥PE∥CD，
∴∠DCP+∠BOP=∠CPE+∠OPE=∠CPO，
∴

∠DCP+∠BOP

∠CPO

的值=1．

点评：本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式．关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化．