题目内容
2．
如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发．沿x轴向右以每秒一个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=-x2+bx+c经过点O和点P．（1）求c．b（用t的代数式表示）：
（2）抛物线y=-x2+bx+c与直线x=1和x=5分别交于M、N两点，当t＞1时，
①在点P的运动过程中，你认为sin∠MPO的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出sin∠MPO的值：
②是否存在这样的/值，使得MP∥ON？如果存在，求出t值：如果不存在，请说明理由：
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若抛物线在点O，P之间的部分与线段OP所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出t的取值范围．
分析 （1）将点O（0，0），点P（t，0代入抛物线的解析式，然后解方程组即可；
（2）①当x=1时，可证明AM=AP，从而得到∠PAM=45°；②要使MP∥ON，需满足∠PON=45°，即N（5，-5），然后将点N的坐标代入抛物线的解析式可得到关于t的方程，从而可求得t的值；
（3）由（2）可知AM=AP，故此当2＜t＜3时，1＜M的纵坐标＜2，要使抛物线在点O，P之间的部分与线段OP所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，则只需要当x=2时，1≤y＜2即可．
解答 解：（1）由题意可知，点O（0，0），点P（t，0），
∵抛物线y=-x2+bx+c经过点O和点P，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-{t}^{2}+bt=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=t}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴y=-x2+tx；
（2）当t＞1时，
①sin∠MPO的大小不会变化；
当x=1时，y=t-1，即M（1，t-1），即AM=t-1，AP=t-1，即AM=AP，∠PAM=45°，
∴sin∠MPO=sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，是定值．
②存在；
理由：如图1：∠OPM=45°，要使MP∥ON，需满足∠PON=45°，即N（5，-5），代入y=-x2+tx得-25+5t=-5．
解得t=4．
（3）如图2所示：
由（2）可知AM=AP．
∴当2＜t＜3时，1＜M的纵坐标＜2．
∴要使抛物线在点O，P之间的部分与线段OP所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，则只需要当x=2时，1≤y＜2即可．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4+2t≥1}\\{-4+2t＜2}\end{array}\right.$，解得：$\frac{5}{2}$≤t＜3．
点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定、特殊锐角三角函数值，一元一次不等式组的应用，得到∠MPA=45°是解答问题（2）的关键，依据恰好有5个整点列出不等式组是解答问题（3）的关键．
| A． | 3（x+1）2=2（x-1） | B． | $\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$-2=0 | C． | ax2+bx+c=0 | D． | x2+2x=x2 |
如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E在AD边上，且DE=$\frac{1}{3}$AD，连结CE并延长交BA的延长线于点F，P是线段AF上一点（点P与点A、F不重合），连结PD，交CF于点Q，设AP=x，CQ=y．
如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转32°，得到△AB'C'，恰好B'，C，C'三点在一直线上，则么∠C'=74°．
如图，在平面直角坐标系内，抛物线y=2x2+bx+c的顶点为A（2，1），同时与直线x=3交于点B，连接OA并延长与直线x=3交于点C．
如图，四边形ABCO是平行四边形，点C在x轴的负半轴上，AO=2cm，AB=4cm，∠BAO=60°，将?ABCO绕点A逆时针旋转60°，得到对应的?ADEF，解答下列问题：