Question

如图，在?ABCD中，AB⊥AC，AC=2，BC=

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，对角线AC与BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F，连接DE、BF，问：直线AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，并证明你的结论．

Answer 1

考点：菱形的判定,平行四边形的性质

专题：

分析：根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，AD∥BC，根据勾股定理求出AB=1，得出AO=AB=1，求出EF⊥BD，证△DOF≌△BOE，推出OF=OE，根据平行四边形和菱形的判定推出即可．

解答：当直线AC绕点O顺时针旋转45度时，四边形BEDF是菱形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∵AB⊥AC，AC=2，BC=

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，
∴由勾股定理得：AB=1，
∴AO=AB=1，
∴∠AOB=45°，
∵AC绕点O顺时针旋转45°，
∴∠AOF=45°，
∴∠BOF=90°，
∴EF⊥BD，
∵DF∥BE，
∴∠EBO=∠FDO，
在△DOF和△BOE中，

∠FDO=∠EBO DO=BO ∠FOD=∠BOE

，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴OF=OE，
∵OD=OB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形，
即当直线AC绕点O顺时针旋转45度时，四边形BEDF是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力．