Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l是第二、四象限的角平分线．
（1）由图观察易知A（2，0）关于直线l的对称点A′的坐标为（0，-2），请在图中分别标明B（5，3）、C（2，5），关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出它们的坐标；B′

 

、C′

 

；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为

 

（不必证明）；
（3）已知两点D（-1，-3）、E（1，-4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形变化-对称

专题：

分析：（1）分别作B（5，3）、C（2，5）关于直线l的对称点B'，C'，B'（-3，-5）、C'（-5，-2）；
（2）观察以上三组点的坐标，会发现坐标平面内任一点P（a，b）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P'的坐标为（-b，-a）；
（3）先求出点D关于直线l的对称点D'的坐标为（3，1），再运用待定系数法求出点E、点D'的直线解析式为y=

5

2

x-

13

2

．点Q是直线y=

5

2

x-

13

2

与直线l：y=-x的交点，解方程组：

y= 5 2 x- 13 2 y=-x

，即可得到点Q的坐标．

解答：解：（1）如图：B'（-3，-5）、C'（-5，-2）；

（2）∵A（2，0）关于直线l的对称点A′的坐标为（0，-2），
B（5，3）关于直线l的对称点B'（-3，-5），
C（2，5）关于直线l的对称点C'（-5，-2），
∴发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（-b，-a）；

（3）点D关于直线l的对称点D'的坐标为（3，1）．
设过点E、点D'的直线解析式为：y=kx+b，
分别把点E、D'的坐标代入得

k+b=-4 3k+b=1

，
解得

k= 5 2 b=- 13 2

，
∴y=

5

2

x-

13

2

．
解方程组：

y= 5 2 x- 13 2 y=-x

，
得

x= 13 7 y=- 13 7

，
∴点Q的坐标为（

13

7

，-

13

7

）．
故答案为（-3，-5），（-5，-2）；（-b，-a）．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题，运用待定系数法求一次函数的解析式，两直线交点坐标的求法，难度适中．关键是由轴对称的知识，结合图形，得出关于直线y=-x轴对称的两点坐标关系．