Question

6．如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上．建立如图所示的平面直角坐标系，
（1）求抛物线的解析式；
（2）当OC=1dm时，求截下的矩形铁皮周长．

Answer 1

分析 （1）根据MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm，得到N（4，0），P（2，4），即可求得函数的解析式；
（2）由OC=1dm，求得D的横坐标是1，根据函数的解析式得到y=3，求出D（1，3），由于A，D关于对称轴对称，于是得到AD=2，然后根据矩形的周长公式即可得到结论．

解答 解：（1）∵MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm，
∴N（4，0），P（2，4），
设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+4，
把N（4，0）代入得：0=a（4-2）²+4，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-2）²+4，
即：抛物线的解析式为：y=-x²+4x；

（2）∵OC=1dm，
∴D的横坐标是1，
∴y=3，
∴D（1，3），
∵A，D关于对称轴对称，
∴AD=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=2，
CD=AB=3，
∴矩形ABCD的周长为10dm．

点评 此题考查了二次函数的应用，把一个实际问题转化成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比较可获得简解．