Question

14．如图，已知等边△ABC，AE=BD，CE、AD交于点F，过点B作BG∥CE，BG交AD的延长线于点G，求证：
（1）AD=CE；
（2）∠BAD=∠ACE；
（3）∠CFD=60°；
（4）BG+DF=CE．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质于是得到结论；
（3）由于∠BAD=∠ACE，根据外角的性质和等量代换即可得到结论；
（4）延长CE到M，使CM=AG，连接AM，推出△BAG≌△CAM（SAS），根据全等三角形的性质得到∠G=∠M，AM=BG，根据平分线的性质得到∠G=∠AFM，等量代换得到∠M=∠AFM，根据等腰三角形的性质得到AM=AF，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）在等边△ABC中，
∵AB=AC=BC，
∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABD=∠CAE}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=CE；

（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠ACE；

（3）∵∠BAD=∠ACE，
∴∠CDF=∠CAF+∠ACF=∠CAF+∠EAF=60°；

（4）延长CE到M，使CM=AG，连接AM，
在△BAG和△CAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAG=ACM}\\{AG=CM}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△CAM（SAS），
∴∠G=∠M，AM=BG，
∵BG∥CE，
∴∠G=∠AFM，
∴∠M=∠AFM，
∴AM=AF，
∵AM=BG，
∴AF=BG，
∴BG+DF=AF+DF=AD=CE．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确根据知识点进行推理是解此题的关键．