Question

等腰△ABC的一个底角为30°，一条边长为2

3

，则△ABC的周长为

 

．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形,勾股定理

专题：推理填空题,分类讨论

分析：根据已知的边可以是腰长，也可以是底边的长度，然后作出底边上的高，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，分别利用勾股定理进行求解即可．

解答：解：如图，作AD⊥BC，D为垂足，则
BD=CD=

1

2

AB（等腰三角形三线合一），
①当已知边为腰长时，AB=2

3

，∠B=30°，
∴AD=

1

2

AB=

3

，
在Rt△ABD中，BD=

AB2-AD2

=

(2 3 )2- 3 2

=3，
∴BC=2BD=2×3=6，
∴△ABC的周长=6+2

3

×2=6+4

3

，
②当已知边为底边时，BD=

1

2

×2

3

=

3

，∠B=30°，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²，
即AB²=

1

4

AB²+

3

²，
解得AB=2，
∴△ABC的周长=2×2+2

3

=4+2

3

，
综上所述，△ABC的周长为6+4

3

或4+2

3

．
故答案为：6+4

3

或4+2

3

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，因为已知边不明确，要注意分情况进行讨论求解，避免漏解而导致出错．