Question

18．如图，已知线段AE=10，点P是线段AE上的动点，以AP长为边长作菱形PMNQ，已知该菱形的一个锐角∠MPQ=60°，且对角线NP⊥AE，△PED是以PE为底的等腰三角形，则△PND的面积的最大值是$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 作DH⊥PN于H，DF⊥PE于F，连结MQ交PN于O点，如图，设PA=x，则PM=x，PE=10-x，根据菱形的性质得OP=ON，PN⊥MQ，∠MPO=$\frac{1}{2}$∠MPQ=30°，在Rt△OPM中利用三角函数可求出PO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，则PN=2PO=$\sqrt{3}$x，再证明四边形PFDH为矩形得DH=PF，接着根据等腰三角形的性质得PF=EF=$\frac{1}{2}$（10-x），然后根据三角形面积公式得到S_△PND=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$x•$\frac{1}{2}$（10-x），最后利用二次函数的性质求S_△PND的最大值．

解答 解：作DH⊥PN于H，DF⊥PE于F，连结MQ交PN于O点，如图，设PA=x，则PM=x，PE=10-x，
∵四边形PMNQ为菱形，
∴OP=ON，PN⊥MQ，∠MPO=$\frac{1}{2}$∠MPQ=30°，
在Rt△OPM中，∵cos∠MPO=$\frac{OP}{PM}$，
∴PO=x•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴PN=2PO=$\sqrt{3}$x，
∵PN⊥AE，DF⊥PE，DH⊥HP，
∴四边形PFDH为矩形，
∴DH=PF，
∵DP=DE，DF⊥PE，
∴PF=EF=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{2}$（10-x），
∴S_△PND=$\frac{1}{2}$•PN•DH=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$x•$\frac{1}{2}$（10-x）
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-5）²+$\frac{25\sqrt{3}}{4}$，
当x=5时，S_△PND的值最大，最大值为$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．
故答案为$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了三角形面积公式和二次函数的性质．