Question

已知：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）中的x，y满足下表：

x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	0	-3	-4	-3	m	…

（1）求m的值；
（2）根据上表求y＞0时的x的取值范围；
（3）若A（p，y₁），B（p+1，y₂）两点都在该函数图象上，且p＜1，试比较y₁与y₂大小．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）由表格可知，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，所以x=3时的函数值与x=-1时的函数值相等，由此求出m的值；
（2）由表格可知，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，x=3时的函数值与x=-1时的函数值相等，都是0，由此求出y＞0时的x的取值范围；
（3）分三种情况讨论：①p＜

1

2

；②p=

1

2

；③1＞p＞

1

2

；分别比较y₁与y₂大小．

解答：解：（1）∵x=0时的函数值与x=2时的函数值相等，
∴二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=

0+2

2

=1，
∴x=3时的函数值与x=-1时的函数值相等，
∴m=0；

（2）∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，x=3时的函数值与x=-1时的函数值相等，都是0，
∴y＞0时的x的取值范围是x＜-1或x＞3；

（3）分三种情况讨论：
①p＜

1

2

时，A（p，y₁）离对称轴的距离大于B（p+1，y₂）离对称轴的距离，
所以y₁＞y₂；
②p=

1

2

时，A（p，y₁）离对称轴的距离等于B（p+1，y₂）离对称轴的距离，
所以y₁=y₂；
③1＞p＞

1

2

时，A（p，y₁）离对称轴的距离小于B（p+1，y₂）离对称轴的距离，
所以y₁＜y₂．

点评：本题考查了二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的性质：
①当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．