Question

解方程：x（x+1）（x+2）（x+3）=120．

Answer 1

考点：换元法解一元二次方程

专题：

分析：首先把（x+1）（x+4）和（x+2）（x+3）分别相乘得到（x²+5x+6）（x²+5x+4）-120，然后利用整体相乘的思想多项式变为（x²+5x）²+10（x²+5x）+24-120，然后利用换元法即可求解．

解答：解：∵（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120，
∵（x²+5x+6）（x²+5x+4）-120=0
∴（x²+5x）²+10（x²+5x）-96=0．
设x²+5x=t，则
t²+10t-96=0，
即（t+16）（t-6）=0．
解得 t=-16或t=6．
①当t=-16时，x²+5x=-16，即x²+5x+16=0．
∵△=25-64=-39＜0，
∴该方程无解；
②当t=6时，x²+5x=6，即
（x+6）（x-1）=0，
解得 x₁=-6，x₂=1．
综上所述，原方程的解是x₁=-6，x₂=1．

点评：本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．