Question

19．如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的半径r和内切圆的半径d分别是$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，它们之间满足的关系是：r=2d．

Answer 1

分析 设O为正三角形ABC的外心（或内心），作OD⊥BC于D，连接OB，由正三角形的性质得出BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a，∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，由三角函数求出r=OB=$\frac{BD}{cos30°}$，d=OD=$\frac{1}{2}$r，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
设O为正三角形ABC的外心（或内心），作OD⊥BC于D，连接OB，
则BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$a，∠OBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴r=OB=$\frac{BD}{cos30°}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
d=OD=$\frac{1}{2}$r=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
∴r=2d；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，$\frac{\sqrt{3}}{6}$a；r=2d．

点评 本题考查了正三角形的性质、三角形的外接圆半径、内切圆半径、三角函数；通过作辅助线解直角三角形求出r和d是解决问题的关键．