Question

10．已知：△ABC是等腰直角三角形，E为斜边AC上一点，F为CE中点，DE⊥AD，AD⊥AB，如果DE=DA，求证：DF=BF，FD⊥FB．

Answer 1

分析 如图作CM∥DE交DF的延长线于M，连接BD、BM，先证明△DFE≌△MFC，再证明△BAD≌△BCM，推出△DBM是等腰直角三角形即可解决问题．

解答 证明：如图作CM∥DE交DF的延长线于M，连接BD、BM．

∵CM∥DE，
∴∠CMF=∠FDE，
在△DFE和△MFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMF=∠FDE}\\{∠CFM=∠EFD}\\{CF=EF}\end{array}\right.$，
∴△DFE≌△MFC，
∴CM=DE，DF=FM，
∵AD=DE，
∴AD=CM，
∵∠MCB=∠ABC=90°，DA⊥AB，
∴∠DAB=∠BCM=90°，
在△ABD和△CBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CM}\\{∠BAD=∠BCM}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△BCM，
∴BD=BM，∠ABD=∠CBM，
∴∠DBM=∠ABC=90°，
∵DF=FM，
∴FB=DF=FM，BF⊥DF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．