Question

20．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，
（1）求抛物线y=-x²+bx+c的解析式；
（2）若点D（0，1），点P是抛物线上的动点，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接将A（3，0）、B（-1，0），代入函数解析式进而得出答案；
（2）当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（3，0）、B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{-1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线y=-x²+bx+c的解析式为：y=-x²+2x+3；

（2）∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P在线段CD的垂直平分线上，
如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，
∵抛物线y=-x²+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），且D（0，1），
∴E点坐标为（0，2），
∴P点纵坐标为2，
在y=-x²+2x+3中，令y=2，可得-x²+2x+3=2，
解得：x=1±$\sqrt{2}$，
∴P点坐标为（1+$\sqrt{2}$，2）或（1-$\sqrt{2}$，2）．

点评 本题主要考查了待定系数求二次函数解析式以及等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．