Question

6．如图1，等腰△ABC中，AB=AC，点D在AC的垂直平分线上，射线BD与BC所夹锐角为30°，连接AD．

（1）求证：AB=AD；
（2）如图2，AD交BC于点E，将∠CBD沿BD翻折交CD的延长线于点F，直接写出DF与DE的数量关系DF=DE；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长AB，CD交于点H，若∠H=30°，HB=b，△ABE的面积为a，求AB的长（用含a，b的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CE⊥BD的延长线于E，AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，取AC中点G，连接DC、DG、FG，先证明E、F、G三点共线，再证明D、G、C、E四点共圆，即可证明△ACD是等边三角形解决问题．
（2）如图2中，结论：DF=DE．在BC上截取BN=BF，先证明△DBN≌△DBF，得DF=DN，再证明DN=DE即可．
（3）如图3中，连接EF，作EQ⊥AB于Q，先证明AE=HF，HB=HF，然后在RT△AQE中理由30度角的性质即可就问题．

解答 （1）证明：如图1中，作CE⊥BD的延长线于E，AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，取AC中点G，连接DC、DG、FG．
∵AB=AC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠CEF+∠BCE=∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CEF=∠CBE=30°，
∵CE=$\frac{1}{2}$BC=CH，
又∵CF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}CH$，
∴点F是CH中点，
∵第G是AC中点，
∴FG∥AH，
∵AH⊥BC，∴FG⊥BC于F，又EF⊥BC于F，
∴E、F、G三点共线，
∵的D在线段AC的垂直平分线上，
∴DG⊥AC，AD=CD，∠ADG=∠CDG，
∴∠DGC=∠CED=90°，
∴D、G、C、E四点共圆，
∴∠CDG=∠CED=30°，
∴∠ADC=2∠CDG=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD=AC=DC，∵AB=AC，
∴AB=AD．
（2）如图2中，结论：DF=DE．
理由：在BC上截取BN=BF，
在△BDN和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{∠DBN=∠DBF}\\{BN=BF}\end{array}\right.$，
∴△DBN≌△DBF，
∴DN=DF，∠BFD=∠BND，
∵∠ADC=∠EBF，
∴B、F、D、E四点共圆，
∴∠BFD+∠BED=180°，
∵∠BND+∠DNE=180°，
∴∠DNE=∠DEN，
∴DN=DE，
∴DF=DE．
（3）如图3中，连接EF，作EQ⊥AB于Q．
∵DE=DF，∠ADC=60°，
∴∠DFE=∠DEF=30°，
∵∠H=30°，
∴∠H=∠DFE，
∴EF∥AB，
∴∠DAH=∠DEF=30°=∠H，
∴∠BAC=∠DAH+∠DAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴DH=DA，
∵DE=DF，
∴FH=AE，
∵∠H=30°，∠FBH=180°-∠ABC-∠CBF=75°，
∴∠BFH=180°-∠H-∠HBF=75°，
∴∠HBF=∠HFB，
∴HB=HF=AE=b，
在RT△AQE中，∵AE=b，∠QAE=30°，
∴QE=$\frac{1}{2}$b，
∵S_△ABE=a
∴$\frac{1}{2}$•AB•QE=a，
∴AB=$\frac{4a}{b}$．

点评 本题考查四点共圆的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的性质、第一个问题的证明关键是添加辅助线构造四点共圆，第二个问题也是利用四点共圆的性质证明角相等，综合性比较强，属于中考压轴题．