[原题]如图1.在四边形ABCD中.∠A=∠B=90°.且AD+BC=AB.试探究在AB上是否存在一点E.使得DE=CE.DE⊥CE．[尝试探究]在AB上截取AE=BC.连接DE.CE.如图2所示.利用SAS可将△DAE≌△EBC.由此可得DE=CE.∠ADE=∠CEB.由∠ADE+∠AED=90°.进而可得DE⊥CE．[类比延伸]若将图1中的条件∠A=∠B=90°改成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．【原题】
如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，且AD+BC=AB，试探究在AB上是否存在一点E，使得DE=CE，DE⊥CE．
【尝试探究】
在AB上截取AE=BC，连接DE，CE，如图2所示，利用SAS可将△DAE≌△EBC，由此可得DE=CE，∠ADE=∠CEB，由∠ADE+∠AED=90°，进而可得DE⊥CE．
【类比延伸】
若将图1中的条件∠A=∠B=90°改成∠A=∠B＞90°，形成新的四边形ABCD，如图3所示，试探究在AB上是否仍存在一点E，使得DE=CE，∠DEC=∠B．
【拓展与应用】
如图4，五边形ABCDE满足AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°，试判断△ACD的形状，并说明理由．

分析尝试探究：根据已知条件判断即可；
类比延伸：辅助线与（1）类似，仍用SAS证明△DAE≌△EBC即可；
拓展与应用：在CD上截取CF=DE，证明△BCF≌△FDE，△ABF≌△AEF，△ABC≌△AFD即可．

解答解：尝试探究：如图2．在AB上截取AE=BC，连接DE，CE，

∵AB=AD+BC，AE=BC，AB=AE+BE，
∴AD=BE，
在△DAE和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=EB}\\{∠A=∠B}\\{AE=BC}\end{array}\right.$
∴△DAE≌△EBC（SAS），
∴DE=CE，∠ADE=∠CEB，
∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CEB+∠AEB=90°
∴DE⊥CE．
故答案为：SAS，=．
类比延伸：如图3，在AB上截取AE=BC，连接DE，CE，

∵AB=AD+BC，AE=BC，AB=AE+BE，
∴AD=BE，
在△DAE和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=EB}\\{∠A=∠B}\\{AE=BC}\end{array}\right.$
∴△DAE≌△EBC（SAS），
∴DE=CE，∠AED=∠ECB，
∵∠AEC=∠DEC+∠AED，∠AEC=∠B+∠ECB，
∴∠B=∠DEC．
拓展与应用：
△ACD是等边三角形，
理由：如图4，在CD上截取CF=DE，连接AF，BF，EF，

∵BC+DE=CD，CF+DF=CD，
∴BC=DF，
在△BCF和△FDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=FD}\\{∠BCF=∠FDE}\\{CF=DE}\end{array}\right.$
∴△BCF≌△FDE，
∴BF=FE，∠CBF=∠DFE，
∵∠CBF+∠BFC=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
∴∠EFD+∠BCF=60°，
∴∠BFE=180°-（∠EFD+∠BCF）=120°，
在△ABF和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{BF=FE}\\{AF=AF}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△AEF，
∴∠BAF=∠EAF，∠BFA=∠EFA，
∵∠BAE=120°，∠BFE=120°
∴∠BAF=∠EAF=60°，∠BFA=∠EFA=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∴AB=AF，∠ABF=60°，
∴∠ABF+∠CBF=∠AFE+∠CFE，
即∠ABC=∠AFD，
在△ABC和△AFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠ABC=∠AFD}\\{BC=DF}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△AFD，
∴AC=AD，∠BAC=∠FAD，
∴∠BAC+∠CAF=∠FAD+∠CAF=∠BAF=60°，
∴△ACD是等边三角形．