Question

3．我们知道：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．你可以利用这一结论解决问题：
如图，点P在以MN（南北方向）为直径的⊙O上，MN=8，PQ⊥MN交⊙O于点Q，垂足为H，PQ≠MN，弦PC、PD分别交MN于点E、F，且PE=PF．
（1）比较$\widehat{CQ}$与$\widehat{DQ}$的大小；
（2）若OH=2$\sqrt{2}$，求证：OP∥CD；
（3）设直线MN、CD相交所成的锐角为α，试确定cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，点P的位置．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，由PE=PF，PH⊥EF可判断PH平分∠FPE，然后根据圆周角定理得到$\widehat{CQ}$=$\widehat{DQ}$；
（2）连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，先计算出PH=2$\sqrt{2}$，则可判断△OPH为等腰直角三角形得到∠OPQ=45°，再判断△OPQ为等腰直角三角形得到∠POQ=90°，然后根据垂径的推理由$\widehat{CQ}$=$\widehat{DQ}$得到OQ⊥CD，
则根据平行线的判定方法得OP∥CD；
（3）直线CD交MN于A，如图，由特殊角的三角函数值得∠α=30°，即直线MN、CD相交所成的锐角为30°，利用OB⊥CD得到∠AOB=60°，则∠POH=60°，然后在Rt△POH中利用正弦的定义计算出PH即可．

解答 （1）解：∵PE=PF，PH⊥EF，
∴PH平分∠FPE，
∴∠DPQ=∠CPQ，
∴$\widehat{CQ}$=$\widehat{DQ}$；
（2）证明：连结CD、OP、OQ，OQ交CD于B，如图，
∵OH=2$\sqrt{2}$，OP=4，
∴PH=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴△OPH为等腰直角三角形，
∴∠OPQ=45°，
而OP=OQ，
∴△OPQ为等腰直角三角形，
∴∠POQ=90°，
∴OP⊥OQ，
∵$\widehat{CQ}$=$\widehat{DQ}$，
∴OQ⊥CD，
∴OP∥CD；
（3）解：直线CD交MN于A，如图，
∵cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠α=30°，即直线MN、CD相交所成的锐角为30°，
而OB⊥CD，
∴∠AOB=60°，
∵OH⊥PQ，
∴∠POH=60°，
在Rt△POH中，∵sin∠POH=$\frac{PH}{OP}$，
∴PH=4sin60°=2$\sqrt{3}$，
即点P到MN的距离为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推理、圆周角定理；能够灵活应用等腰直角三角形的性质和三角函数进行几何计算．