Question

9．已知如图，点A（6，0），点B（0，8），点C在y轴上，将△OAB沿AC对折，使点O落在AB边上的点D处．
（1）求直线AB的解析式？
（2）求点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法直接求出直线AB解析式；
（2）先求出AB，设出点C的坐标，根据折叠表示出CD，BD，由勾股定理求出OC即得到点C的坐标；
（3）设出点P的坐标，按边分三种情况讨论计算即可．

解答 解：（1）设直线AB解析式为y=kx+8，
∵点A（6，0），在直线AB上，
∴6k+8=0，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+8，
（2）∵点A（6，0），点B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=10，
设点C（0，c），
∴OC=c，
∴BC=8-c，
由折叠得，∠ADC-∠BDC=∠AOB=90°，CD=OC=c，AD=OA=6，
∴BD=AB-AD=4，
在Rt△BCD中，CD²+BD²=BC²，
即：c²+16=（8-c）²，
∴c=3，
∴C（0，3），
（3）∵△PAB为等腰三角形，
设点P（x，0），
①当BP=BA，即：BP=10，
∵BP=$\sqrt{64+{x}^{2}}$，
∴64+x²=100，
∴x=6（舍）或x=-6，
∴P（-6，0），
②当AP=AB，即：AP=10，
∵AP=|6-x|，
∴|6-x|=10，
∴x=-4或x=16，
∴P（-4，0）或（16，0），
③当PA=PB时，
∵PB=$\sqrt{64+{x}^{2}}$，PA=|6-x|，
∴|6-x|=$\sqrt{64+{x}^{2}}$，
∴x=-$\frac{7}{3}$，
∴P（-$\frac{7}{3}$，0），
即：点P的坐标为（-6，0）、（-4，0）、（16，0）、（-$\frac{7}{3}$，0）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是求出点C的坐标和分类讨论．