Question

12．如图1，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CEF，∠ABC=∠CEF=90°，点C，B，E在同一条直线上，M是AF的中点．
（1）求证：MB∥CF；
（2）将△CEF绕顶点C顺时针旋转，使点E落在射线AB上，如图2，猜想BM与EM的数量关系和位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；
（2）取AC，CF的中点P，Q，连接BP，EQ，MQ，PM，设PN交EQ于点N，由M是AF的中点，得到PM是△ACF的中位线，推出四边形CQMP是平行四边形，得到BP=PC=MQ，PM=CQ=QE，∠3=∠4，证得△BPM≌△EMQ，得出BM=ME，BMP=∠MEQ，由于EQ⊥CF，PM∥CF求出EQ⊥PM，得到∠MNE=90°由等量代换得出∠PMB+∠5=90°，于是得出答案BM⊥EM．

解答 解：（1）如图1，延长AB交CF于点D，
∵△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点，
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF；

（2）BM=EM，BM⊥EM，
如图2，取AC，CF的中点P，Q，连接BP，EQ，MQ，PM，
设PN交EQ于点N，
∵M是AF的中点，
∴PM∥CF，PM=$\frac{1}{2}$CF=CQ，
∴四边形CQMP是平行四边形，
∴BP=PC=MQ，PM=CQ=QE，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
在△PBM与△EMQ中$\left\{\begin{array}{l}{PB=MQ}\\{∠3=∠4}\\{PM=QE}\end{array}\right.$，
∴△BPM≌△EMQ，
∴BM=ME，∠BMP=∠MEQ，
∵EQ⊥CF，PM∥CF，
∴EQ⊥PM，
∴∠MNE=90°，
∴∠MEQ+∠5=90°，
∴PMB+∠5=90°，
∴BM⊥EM．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定和性质，准确的作出辅助线是解题的关键．