Question

4．如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，CO=CP=4，弦AB垂直平分OC．
（1）求BC的长；
（2）求证：PB是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）由OA=OB，弦AB⊥OC，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；
（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．

解答 （1）解：∵弦AB垂直平分OC，
∴BCBO，
∵OB=OC，
∴OB=BC=CO，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OC=2；

（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，
∴BC=CP，
∴∠CBP=∠CPB，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∴∠CBP=30°，
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，
∴OB⊥BP，
∵点B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．