Question

4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，F在DE的延长线上，且AF=CE．
（1）求证：AE=BE；
（2）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（3）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）证出DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，即可得出结论；
（2）由在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，可得CE=AE=BE，又由AF=CE，可得CE=AE=BE=AF，继而可证得∠5=∠6，即可判定AF∥CE，则可得四边形ACEF是平行四边形；
（3）由当∠B=30°时，在Rt△ABC中，AC=$\frac{1}{2}$AB=AE=CE，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∵D是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴E是AB的中点，
∴AE=BE；
（2）证明：如图所示：
∵∠ACB=90°，BE=AE，
∴CE=AE=BE，
又∵CE=AF，
∴CE=AE=BE=AF，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵DF⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠EDB=∠ACD，
∴DF∥AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴∠5=∠6，
∴AF∥CE，
又∵AF=CE，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（3）解：当∠B=30°时，
在Rt△ABC中，AC=$\frac{1}{2}$AB=AE=CE，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．

点评 此题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．