Question

2．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点P为底边BC上一点，连接AP，在AP左侧作等腰△APD，使PA=PD，∠APD=∠BAC=120°，连接BD，AB=4．
（1）当点P由点C运动到点B时，求运动过程中∠PBD的大小；
（2）请求出在（1）情况下点D运动的路径长度．

Answer 1

分析 （1）①如图1中，在BC上截取一点F，使得BF=AF，当点P在点F左侧时，可证∠PBD=∠DAP=30°．②当点P与F重合时，∠PBD不存在，当点P在点F右侧时，如图2中，可证∠PBD=∠ABD+∠ABC=150°；
（2）如图3中，易知，点D的运动轨迹是线段DD′．求出BD，BD′即可解决问题；

解答 解：（1）①如图1中，在BC上截取一点F，使得BF=AF，当点P在点F左侧时，

∵AB=AC，PA=PD，∠BAC=∠APD=120°，
∴∠ABP=∠ADP=30°，
∵∠ABO=∠PDO=30°，∠AOB=∠POD，
∴△AOB≌△POD，
∴$\frac{BO}{OD}$=$\frac{OA}{OP}$，
∴$\frac{BO}{OA}$=$\frac{OD}{OP}$，∵∠BOD=∠AOP，
∴△BOD∽△AOP，
∴∠PBD=∠DAP=30°．
②当点P与F重合时，∠PBD不存在，当点P在点F右侧时，如图2中，

同法由△AOD∽△POB，推出△BOD∽△POA，可得∠DBO=∠APD=120°，
∴∠PBD=∠ABD+∠ABC=150°，
∴当点P由点C运动到点B时，∠PBD的值为30°或120°或不存在．

（2）如图3中，易知，点D的运动轨迹是线段DD′．

易知BD=AB=4，BD′=2AB=8，
∴DD′=BD+BD′=12．

点评 本题考查轨迹、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．