Question

10．如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图，已知BC=7米，AB=6+3$\sqrt{3}$米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为3米．
（1）若要在楼梯上（包括平台DE）铺满地毯，求地毯的长度；
（2）沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？

Answer 1

分析 （1）由图可知：地毯的总长度是（AB+BC）的长，已知了楼道的宽度，可由矩形的面积公式求出地毯的总面积；
（2）关键是求出AN、NE、DF、FC的长，可设AN=x，然后用x表示出EN、DF、CF的长，由于△CDF是等腰直角三角形，则DF=CF，根据这个等量关系，可求出x的值，进而可求出AN、NE、DF、CF的长，然后再根据两段地毯的单价求出铺满楼梯所花费的总价钱．

解答 解：（1）地毯的长度=AB+BC=7+6+3$\sqrt{3}$=13+3$\sqrt{3}$（米）；
（2）设EN=DM=BF=x，则BM=DF=CF=7-x，
∵EN⊥AB，∠EAB=30°，
∴AN=$\sqrt{3}$EN=$\sqrt{3}$x，
∵AB=AN+MN+MB，
∴$\sqrt{3}$x+2+（7-x）=6+3$\sqrt{3}$，
解得：x=3，
即平台的高度为3m，
所需费用为100×3×（AN+EN）+120×3×（ED+DF+CF）=100×3×（3$\sqrt{3}$+3）+120×3×（2+4+4）=900$\sqrt{3}$+4500（元）；
答：用地毯铺满整个楼梯共需要花费（900$\sqrt{3}$+4500）元钱．

点评 本题考查了勾股定理的应用、解直角三角形中特殊角三角函数的应用，能够正确的求出AN的长是解答此题的关键．