Question

13．在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上（不与点A、B、C重合），点P是直线AB上的任意一点（不与点A、B重合）．设∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．
  （1）如图，当点P在线段AB上运动，且n=90°时
①若PD∥BC，PE∥AC，则m=90°；
②若m=50°，求x+y的值．
（2）当点P在直线AB上运动时，直接写出x、y、m、n之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）①证明四边形DPEC为平行四边形可得结论；
②根据四边形内角和为360°，列等式求出x+y的值；
（2）根据P、D、E位置的不同，分五种情况：①y-x=m+n，如图2，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；
②x-y=m-n，如图3，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；
③x+y=m+n，如图4，点P在线段BA上时，根据四边形的内角和为360°列等式，化简后得出结论；
④x-y=m+n，如图5，同理得出结论；
⑤y-x=m-n，如图6，同理得出结论．

解答 解：（1）①如图1，∵PD∥BC，PE∥AC，
∴四边形DPEC为平行四边形，
∴∠DPE=∠C，
∵∠DPE=m，∠C=n=90°，
∴m=90°；
②∵∠ADP=x，∠PEB=y，
∴∠CDP=180°-x，∠CEP=180°-y，
∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°，
∠C=90°，∠DPE=50°，
∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°，
∴x+y=140°；
（2）分五种情况：
①y-x=m+n，如图2，理由是：
∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°-y，
∴∠DFP=n+180°-y，
∵x+m+∠DFP=180°，
∴x+m+n+180°-y=180°，
∴y-x=m+n；
②x-y=m-n，如图3，理由是：
同理得：m+180°-x=n+180°-y，
∴x-y=m-n；
③x+y=m+n，如图4，理由是：
由四边形内角和为360°得：180°-x+m+180°-y+n=360°，
∴x+y=m+n；
④x-y=m+n，如图5，理由是：
同理得：180°=m+n+y+180°-x，
∴x-y=m+n；
⑤y-x=m-n，如图6，理由是：
同理得：n+180°-x=m+180°-y，
∴y-x=m-n．

点评 本题是三角形的综合题，难度不大，考查了平行四边形的性质和判定及三角形的内角和、外角定理，熟练掌握三角形的内角和为180°及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；能根据动点位置的不同准确列出各角之间的关系式并化简即可．