Question

1．如图，设⊙O是边长为2的正方形的内切圆，⊙O₁与⊙O外切且与正方形的边长BC，CD相切，求⊙O₁的面积．

Answer 1

分析 设⊙O的半径为R，⊙O₁的半径为r，根据已知条件得到R=$\frac{1}{2}$AB=1，根据勾股定理得到AO=$\sqrt{2}$，根据相交两圆的性质得到OO₁=R+r=1+r，根据⊙O₁与⊙O外切且与正方形的边长BC，CD相切，得到A，O，O₁，C共线，列方程即可得到结论．

解答 解：设⊙O的半径为R，⊙O₁的半径为r，
∵⊙O是边长为2的正方形的内切圆，
∴R=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴AO=$\sqrt{2}$，
∵⊙O₁与⊙O外切，
∴OO₁=R+r=1+r，
∵⊙O₁与正方形的边长BC，CD相切，
∴CO₁=$\sqrt{2}$r，
∵⊙O₁与⊙O外切且与正方形的边长BC，CD相切，
∴A，O，O₁，C共线，
∴AO+OO₁+$\sqrt{2}$r=AC=2$\sqrt{2}$，
∴r=3-2$\sqrt{2}$，
∴⊙O₁的面积=（3-2$\sqrt{2}$）²•π=（17-12$\sqrt{2}$）π．

点评 本题考查了相交两圆的性质，正方形的性质，熟练掌握交两圆的性质是解题的关键．