题目内容

20．探索：
（1）如果$\frac{3x+4}{x+1}$=3+$\frac{m}{x+1}$，则m=1；
（2）如果$\frac{5x-3}{x+2}$=5+$\frac{m}{x+2}$，则m=-13；
总结：如果$\frac{ax+b}{x+c}$=a+$\frac{m}{x+c}$（其中a、b、c为常数），则mb-ac；
应用：利用上述结论解决：若代数式$\frac{4x-3}{x-1}$的值为整数，求满足条件的整数x的值．

分析 （1）已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；
（2）已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用分式相等的条件确定出m的值即可；归纳总结表示出m即可；根据得到的结论确定出整数x的值即可．

解答 解：探索：（1）已知等式整理得：$\frac{3x+4}{x+1}$=$\frac{3x+3+m}{x+1}$，即3x+4=3x+3+m，
解得：m=1；
故答案为：1；-13
（2）已知等式整理得：$\frac{5x-3}{x+2}$=$\frac{5x+10+m}{x+2}$，即5x-3=5x+10+m，
解得：m=-13；
总结：m=b-ac；       
故答案为：m=b-ac；       
应用：$\frac{4x-3}{x-1}$=$\frac{4（x-1）+1}{x-1}$=4+$\frac{1}{x-1}$，
∵x为整数且$\frac{4x-3}{x-1}$为整数，
∴x-1=±1，
∴x=2或0．

点评 此题考查了分式的值，弄清题中的规律是解本题的关键．

练习册系列答案
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10．数学问题：计算$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{3}}+…+\frac{1}{{m}^{n}}$*（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）
探究问题：为解决上面的数字问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为$\frac{1}{2}$；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{2}^{n}}$．
根据第n次分割图可得等式：$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

探究二：计算$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为$\frac{2}{3}$；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$，最后空白部分的面积是$\frac{1}{{3}^{n}}$．
根据第n次分割图可得等式：$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$．
两边同除以2，得$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2×{3}^{n}}$\

探究三：计算$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+..+\frac{1}{{4}^{n}}$．
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：根据前面探究结果：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$
$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2×{3}^{n}}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+..+\frac{1}{{4}^{n}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3×{4}^{n}}$．
…
推出：$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{3}}+…+\frac{1}{{m}^{n}}$=$\frac{1}{m-1}$-$\frac{1}{（m-1）{m}^{n}}$．（只填空，其中m、n都是正整数，且m≥2，n≥1）
拓广应用：计算$\frac{5-1}{5}+\frac{{5}^{2}-1}{{5}^{2}}+\frac{{5}^{3}-1}{{5}^{3}}+…+\frac{{5}^{n}-1}{{5}^{n}}$．
11．计算$\frac{（{3}^{4}+4）（{7}^{4}+4）（1{1}^{4}+4）}{（{1}^{4}+4）（{5}^{4}+4）（{9}^{4}+4）}$=145．
8．（1）计算：$\sqrt{18}$-（$\sqrt{2}$+1）-1+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）0
（2）用适当的方法解下列方程：
①x2-12x-4=0；
②（x-1）2+2x（x-1）=0．
15．已知等腰三角形的两边的长是方程（x-2）2-1=0的两根，求这个等腰三角形的周长．
5．已知关于x的方程x2+（m-5）x+m-2=0有实根，求实数m的取值范围，使方程的两根分别有以下情况：
（1）两根都小于-2；
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12．在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm．
（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长；
（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长．
9．用直尺作图（不写画法），已知如图，AB是线段，C，D是两点．
（1）过A、C两点作直线AC，过B、D两点作直线BD，直线AC与BD交于点E．
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10．如图是某学校主楼梯从底楼到二楼的楼梯截面图，已知BC=7米，AB=6+3$\sqrt{3}$米，中间平台DE与地面AB平行，且DE的长度为2米，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB=30°，∠CDF=45°，楼梯宽度为3米．
（1）若要在楼梯上（包括平台DE）铺满地毯，求地毯的长度；
（2）沿楼梯从A点到E点铺设价格为每平方米100元的地毯，从E点到C点铺设价格为每平方米120元的地毯，求用地毯铺满整个楼梯共需要花费多少元钱？

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