Question

2．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x₁，第二个三角形数记为x₂，…第n个三角形数记为x_n，则x_n+x_n+1=（n+1）²．

Answer 1

分析 根据三角形数得到x₁=1，x₂=3=1+2，x₃=6=1+2+3，x₄=10=1+2+3+4，x₅=15=1+2+3+4+5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和，即x_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$、x_n+1=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，然后计算x_n+x_n+1可得．

解答 解：∵x₁=1，
x₂═3=1+2，
x₃=6=1+2+3，
x₄═10=1+2+3+4，
x₅═15=1+2+3+4+5，
…
∴x_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，x_n+1=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
则x_n+x_n+1=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$=（n+1）²，
故答案为：（n+1）²．

点评 本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．