Question

13．如图1，已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E，F在AC，BC上，将△ABC沿EF折叠，点C落在点D处，设△EDF与四边形ABFE重叠部分面积为y，CF长为x．

（1）如图2，当EF∥AB，CF=4时，试求y的值；
（2）当EF∥AB时，试求y与x的函数关系式，并求x为何值时y的值最大；
（3）如图3，当CF=4，DF⊥BC时，求y的值．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的面积求出CD=4.8，由CF=BF=4，且EF∥AB，求出CH=DH即可；
（2）分两段，①用相似表示出线段CN=0.6x，EF=$\frac{5}{4}$x，用面积公式计算，②用相似表示出∵DH=CH=0.6x，DM=1.2x-4.8，EF，GI再用面积公式计算即可；
（3）先计算出△CEF的面积，再求出△DMN的面积，即可．

解答 解：（1）如图1，连接CD，

∵CF=4，BC=8，
∴BF=4，CD=$\frac{AC×BC}{AB}$=4.8，
∵EF∥AB，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB=5，CH=DH=$\frac{1}{2}$CM=2.4，
∴y=$\frac{1}{2}$×EF×DH=$\frac{1}{2}$×5×2.4=6；
（2）①当0＜x≤4时，如图2，作CM⊥AB，则CM必过点D，

由（1）有CM=4.8
∵EF∥AB，
∴$\frac{CN}{CM}=\frac{CF}{BC}$=$\frac{EF}{AB}$，
∴$\frac{CN}{4.8}=\frac{x}{8}$=$\frac{EF}{10}$，
∴CN=0.6x，EF=$\frac{5}{4}$x
∴y=S_△DEF=S_△CEF=$\frac{1}{2}$×EF×CN=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$x×0.6x=$\frac{3}{8}$x²，
∴当x=4时，ymax=$\frac{3}{8}$×4²=6；
②当4＜x≤8，如图3，

作CM⊥AB，FN⊥AB，
∴$\frac{BF}{CF}=\frac{FN}{CM}$，
∵CF=x，
∴BF=8-x，
由（1）有，CM=4.8，
∴$\frac{8-x}{8}=\frac{FN}{4.8}$，
∴FN=0.6（8-x），
∵DH=CH=CM-MN=CM-FN=4.8-0.6（8-x）=0.6x，
DM=DH-MH=CH-FN=0.6x-0.6（8-x）=1.2x-4.8
∵EF∥AB，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{CH}{CM}$，∴$\frac{EF}{10}=\frac{0.6x}{4.8}$
∴EF=$\frac{5}{4}$x，
∵EF∥AB，
∴$\frac{DM}{DH}=\frac{GI}{EF}$，
∴$\frac{1.2x-4.8}{0.6x}$=$\frac{GI}{\frac{5}{4}x}$
∴GI=$\frac{5}{2}$（x-4），
∴y=$\frac{1}{2}$（GI+EF）×FN=$\frac{1}{2}$×[$\frac{5}{2}$（x-4）+$\frac{5}{4}$x]×0.6（8-x）=-$\frac{9}{8}$（x-$\frac{16}{3}$）²+8，
∴当x=$\frac{16}{3}$时，y_max=$\frac{64}{5}$．
即：x=$\frac{16}{3}$时，y_max=$\frac{64}{5}$．
（3）如图4，在CB上取一点H使CH=DM，作∠CHG=∠DMN，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴tan∠B=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
在△BFM中，DF⊥BC，BF=BC-CF=4，∠B+∠BMF=90°，∴tan∠B=$\frac{FM}{BF}$=$\frac{FM}{4}$=$\frac{3}{4}$，∴FM=3，∴CH=DM=1，
∵∠CHG=∠DMN，∠BMF=∠DMN，∴∠CHG=∠BMF，∵∠B+∠BMF=90°，∵∠B+∠CHG=90°，∵∠CHG+∠CGH=90°，∴∠B=∠CGH，
在Rt△HCG中，tan∠CGH=$\frac{CH}{CG}$=tan∠B=$\frac{3}{4}$，∴CG=$\frac{4}{3}$×CG=$\frac{4}{3}$，
，∵∠BFD=90°，
由折叠有∠CFE=∠DFE=45°，∴CE=CF
∴y=S_{四边形EFMN}=S_△DEF-S_△DMN=S_△CEF-S_△CHG=$\frac{1}{2}$CE×CF-$\frac{1}{2}$×CH×CG=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×1×$\frac{4}{3}$=$\frac{22}{3}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，三角形，四边形面积计算公式，解本题的关键是用相似表示相关的线段，作出辅助线是解本题的难点．