Question

8．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax²+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的个数是（　　）
①abc＞0；②3a+b＞0；③-1＜k＜0；④k＞a+b；⑤ac+k＞0．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断a的符号；由对称轴判断b及b与2a的关系；还可由图象上点的坐标判断．

解答 解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线对称轴是x=1，
∴b＜0且b=-2a．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0．
∴①abc＞0错误；
②3a+b＞0正确；
∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，
∴k＜0．
∵OA=OD，
∴点A的坐标为（c，0）．
直线y=kx+c当x=c时，y＞0，
∴kc+c＞0可得k＞-1．
∴③-1＜k＜0正确；
∵直线y=kx+c与抛物线y=ax²+bx+c的图象有两个交点
∴ax²+bx+c=kx+c，
得x₁=0，${x}_{2}=\frac{k-b}{a}$，
由图象知x₂＞1，
∴$\frac{k-b}{a}＞1$，
∴k＞a+b
∴④k＞a+b正确；
∵$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{c（ac+b+1）=0}\end{array}\right.$，
∴2a-ac=1．
∴ac=2a-1，
∵-1＜k＜0，
∴⑤令ax²+bx+c=kx+c，
∴ax+b=k，
∵b=-2a，
∴x=$\frac{k+2a}{a}$，
∵交点在B（2-c，0）右边，
∴$\frac{k-2a}{a}$＞2-c，
∴k+2a＞2a-ac，
∴ac+k＞0，故正确．
故选D．

点评 本题主要考查了抛物线的性质，解决本题的关键是利用图象判断系数的符号以及一次函数的性质．