Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，过点C作CE⊥BD于点E，作∠GAB=∠CAB，CE的延长线与AG交于点F，点G在AF的延长线上，且FG=BD，连结BG、DF
（1）求证：
①BD∥AG；
②四边形BGFD为菱形；
（2）已知AG=15，CF=3

7

，求菱形BGFD的边长．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先可判断四边形BDFG是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BDFG是菱形；
（2）设GF=x，则AF=15-x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值．

解答：解：（1）①∵∠ABC=90°，D为AC的中点，
∴BD=AD=DC，
∴∠CAB=∠DBA，
∵∠GAB=∠CAB，
∴∠GAB=∠DBA，
∴AG∥BD；

②∵AG∥BD，BD=FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CE⊥BD，
∴CE⊥AG，
又∵BD为AC的中线，
∴BD=DF=

1

2

AC，
∴四边形BDFG是菱形；

（2）设GF=x，则AF=15-x，AC=2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，
∴AF²+CF²=AC²，即（15-x）²+（3

7

）²=（2x）²，
解得：x=6，
∴菱形BGFD的边长为6．

点评：本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．