Question

12．已知：如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，MO∥BC，MO的延长线交AB于点N，交DA的延长线于点P．求证：PO²=PM•PN．

Answer 1

分析 延长DP交CB的延长线于Q．由OP∥CQ，可得△APN∽△AQB，△AOP∽△ACQ，根据相似三角形对应边成比例得出PN：QB=AP：AQ=PO：QC，由比例的性质得出PN：PO=QB：QC．同理可得PO：PM=QB：QC，等量代换得到PN：PO=PO：PM，即PO²=PM•PN．

解答 证明：延长DP交CB的延长线于Q．
∵OP∥CQ，
∴△APN∽△AQB，△AOP∽△ACQ，
∴PN：QB=AP：AQ=PO：QC，
∴PN：PO=QB：QC．
在△DQC范围内，∵MP∥CQ，
∴△DPO∽△DQB，△DPM∽△DQC，
∴PO：QB=DP：DQ=PM：QC，
∴PO：PM=QB：QC，
∴PN：PO=PO：PM，
∴PO²=PM•PN．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，准确作出辅助线，证明出PN：PO=QB：QC以及PO：PM=QB：QC是解题的关键．