Question

20．平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以2cm/s的相同的速度向C、A运动
（1）四边形DEBF是平行四边形吗？说明你的理由．
（2）若BD=10cm，AC=18cm，当运动时间t为多少时，以D、E、B、F为顶点的四边形为矩形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形ABCD中，可得OA=OC，OB=OD，又由若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以2cm/s的相同的速度向C、A运动，易得AE=CF，即可得OE=OF，则可判定四边形DEBF是平行四边形；
（2）由四边形DEBF是平行四边形，可得当EF=BD时，四边形DEBF为矩形，即可得方程：18-2t-2t=10，继而求得答案．

解答 解：（1）四边形DEBF是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以2cm/s的相同的速度向C、A运动，
∴AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）根据题意得：AE=CF=2tcm或18-2tcm，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴当EF=BD时，四边形DEBF为矩形．
即AC-AE-CF=BD或AE+CF-AC=EF，
∴18-2t-2t=10或2t+2t-18=10，
解得：t=2或t=7
∴当运动时间t为2s或7s时，四边形DEBF为矩形．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，正确应用矩形的判定方法得出EF=BD是解题关键．