Question

已知两个二次方程x²+ax+b=0与x²+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程x2+

a+c

2

x+

b+d

2

=0也有一个根为1．

Answer 1

考点：一元二次方程的解,一元二次方程的定义

专题：方程思想

分析：本题是一道证明题，因为x=1是这两个方程的公共根，所以它必须同时满足这两个方程，得到字母系数a，b，c，d之间的关系，然后利用它们之间的关系就可以证明．

解答：证明：∵x=1是方程x²+ax+b=0和x²+cx+d=0的公共根，
∴a+b+1=0，c+d+1=0，
∴a+c+b+d+2=0，
∴b+d=-a-c-2  ①
把①代入方程x²+

a+c

2

x+

b+d

2

=0，
得：x²+

a+c

2

x-1-

a+c

2

=0，
（x²-1）+

a+c

2

（x-1）=0，
（x-1）（x+1+

a+c

2

）=0，
∴x₁=1，x₂=-1-

a+c

2

．
故二次方程x²+

a+c

2

x+

b+d

2

=0也有一个公共根为1．

点评：本题考查的是一元二次方程的解，由方程的解确定字母系数之间的关系，利用它们之间的关系加以证明．