Question

5．阅读下面材料：
实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5厘米，BC是底面直径，高AB为5厘米，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．

解决方案：
路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示，
设路线l的长度为l₁：则l₁²=AC²=AB²+BC²=5²+（5π）²=25+25π²；
路线2：高线AB+底面直径BC，如图（1）所示．
设路线2的长度为l₂：则l₂²=（AB+BC）²=（5+10）²=225．
为比较l₁，l₂的大小，我们采用“作差法”：
∵l₁²-l₂²=25（π²-8）＞0∴l₁²＞l₂²∴l₁＞l₂，
小明认为应选择路线2较短．
（1）问题类比：
小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米．”．请你用上述方法帮小亮比较出l₁与l₂的大小：
（2）问题拓展：
请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r厘米时，高为h厘米，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当$\frac{r}{h}$满足什么条件时，选择路线2最短？请说明理由．
（3）问题解决：
如图（3）为2个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5厘米，当蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式）．

Answer 1

分析 （1）由阅读材料，可知路线1：l₁²=AC²=AB²+BC²=高²+底面周长一半²；路线2：l₂²=（高线AB+底面直径BC）²；将数据代入即可求出l₁²、l₂²的值，再运用差比法即可得出l₁＜l₂；
（2）先根据阅读材料用含h、r的代数式分别表示l₁²、l₂²，再由l₁²＞l₂²列出关于h、r的不等式，解不等式即可求解；
（3）先根据阅读材料将h=5代入，用含r的代数式分别表示l₁²、l₂²，再由l₁²=l₂²列出关于r的方程，解方程即可．

解答 解：（1）如图（2）．
∵圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米，
∴路线1：l₁²=AC²=AB²+BC²=25+π²；
路线2：l₂=AB+BC=5+2=7，l₂²=（AB+BC）²=49．
∵l₁²-l₂²=25+π²-49=π²-24＜0，
∴l₁²＜l₂²，
∴l₁＜l₂，
∴选择路线1较短；

（2）如图（2）．
∵圆柱的底面半径为r厘米，高为h厘米，
∴路线1：l₁²=AC²=AB²+BC²=h²+（πr）²=h²+π²r²，
路线2：l₂²=（AB+BC）²=（h+2r）²，
∴l₁²-l₂²=h²+（πr）²-（h+2r）²=r（π²r-4r-4h）=r[（π²-4）r-4h]；
∵r恒大于0，
∴当（π²-4）r-4h＞0，即$\frac{r}{h}$＞$\frac{4}{{π}^{2}-4}$时，l₁²＞l₂²，即此时选择的路2最短；

（3）如图（3），圆柱的高为5厘米．
l₁²=AC²=AB²+BC²=25+（2πr）²，
l₂²=（AB+BC）²=（5+4r）²，
由题意，得25+（2πr）²=（5+4r）²，
解得r=$\frac{10}{{π}^{2}-4}$．
即当圆柱的底面半径r为$\frac{10}{{π}^{2}-4}$厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条线段相等．

点评 本题考查了平面展开-最短路径问题，比较两个式子的大小，通常利用差比法，这里让这两个式子的平方相减．同时考查了学生的阅读理解能力，知识的迁移能力及分析问题解决问题的能力．