Question

如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，点F在AD边上，且AE=DF，AF=CD，连接线段CE、EF、CF．点G是线段CE的中点，点M是线段EF上一点，过点G作GN⊥GM，将CF于点N．
（1）求证：△AEF≌△DFC；
（2）求证：ME=NF．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）利用SAS即可证明；
（2）易证△EFC是等腰直角三角形，作GK⊥CF，GH⊥EF，分别于点K和H，证明△GHM≌△GKN即可证得．

解答：证明：（1）∵AB=CD，AB=AE，
∴AE=CD，
∵矩形ABCD，
∴∠A=∠D=90°，
在△AEF和△DCE中

AF=CD ∠A=∠D AE=DF

，
∴△AEF≌△DCE；

（2）∵△AEF≌△DCE，
∴∠AFE=∠DCF，∠DFC=∠AEF，EF=FC，
又∵直角△AEF中，∠DFC+∠DCF=90°，
∴∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠EFC=90°，
∴△EFC是等腰直角三角形．
作GK⊥CF，GH⊥EF，分别于点K和H．
则四边形HGKF是矩形，
∴∠HGK=90°，
∵GN⊥GM，
∴∠HGM=∠NGK，
又∵点G是线段CE的中点，
∴HG=GK，EH=HF=FK=CK，
在△GHM和△GKN中，

∠GHM=∠GNK ∠HGM=∠NGK GH=GN

，
∴△GHM≌△GKN，
∴HM=NK，
又∵EH=FK，
∴ME=NF．

点评：本题综合考查了等腰直角三角形，等腰三角形的判定，矩形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，题型较好，难度不大，主要考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力．