Question

如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，CD=CA，CE⊥DB交DB的延长线于点E．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=4，AB=5，求CE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）先证明△ACO≌DCO得∠1=∠2，而∠1=∠3，所以∠2=∠3，根据圆周角定理得∠2=∠4，则∠3=∠4，所以CO∥ED，而CE⊥DB，则OC⊥CE，于是根据切线的判定定理得到直线CE与⊙O相切；
（2）连接BC，根据圆周角定理由AB是直径得∠ACB=90°，在Rt△ACB中，利用勾股定理计算出BC=3，再证明Rt△ACB∽Rt△DEC，然后利用相似比计算CE．

解答：（1）解：直线CE与⊙O相切．理由如下：连接CO、DO，
在△ACO和△DCO中

AC=CD CO=CO AO=DO

∴△ACO≌DCO，
∴∠1=∠2，
∵CO=DO，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∵∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
∴CO∥ED，
∵CE⊥DB，
∴OC⊥CE，
∴直线CE与⊙O相切；
（2）连接BC，∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，AC=4，AB=5，
∴BC=

AB2-AC2

=3，
∵∠2=∠4，
∴Rt△ACB∽Rt△DEC，
∴

AB

DC

=

CB

EC

，即

5

4

=

3

CE

，
∴EC=

12

5

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和三角形相似的判定与性质．