Question

4．如果记f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，且f（1）=$\frac{1^2}{1^2+1}$=$\frac{1}{2}$； f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}}{（\frac{1}{2}）^{2}+1}$=$\frac{1}{5}$；那么f（1）+f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=$\frac{2n-1}{2}$．（结果用含有n的代数式表示，n为正整数）

Answer 1

分析 根据给定的f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$的定义式，可找出部分f（n）与f（$\frac{1}{n}$）的值，根据数值的变化可找出变化规律“f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=1（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．

解答 解：观察，发现规律：f（2）=$\frac{{2}^{2}}{{2}^{2}+1}$=$\frac{4}{5}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}}{（\frac{1}{2}）^{2}+1}$=$\frac{1}{5}$，f（3）=$\frac{{3}^{2}}{{3}^{2}+1}$=$\frac{9}{10}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{（\frac{1}{3}）^{2}}{（\frac{1}{3}）^{2}+1}$=$\frac{1}{10}$，…，
∴f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=1（n为正整数）．
∴f（1）+f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{2}$+1+1+…+1=$\frac{2n-1}{2}$．
故答案为：$\frac{2n-1}{2}$．

点评 本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“f（n）+f（$\frac{1}{n}$）=1（n为正整数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定的定义式找出部分f（n）与f（$\frac{1}{n}$）的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．