Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，联结DE、EF、FD，若BE=

1

2

ED，且FD⊥BC．
（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；
（2）若AC=3AE，求证：四边形AEDF是菱形．

Answer 1

考点：菱形的判定,平行四边形的判定

专题：

分析：（1）分别证明AB∥FD，ED∥AC可证明四边形AEDF是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质可得AE=FD，再根据直角三角形的性质可得AC=3AE，然后证明AF=FD，可得四边形AEDF是菱形．

解答：证明：（1）∵FD⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∵∠B=90°，
∴AB∥FD，
∵BE=

1

2

ED，
∴sin∠EDB=

1

2

，
∴∠EDB=30°，
∵∠C=30°，
∴ED∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形；

（2）∵四边形AEDF是平行四边形，
∴AE=FD，
∵∠C=30°，
∴FD=

1

2

FC，
∵AC=3AE，
∴AE=

1

3

AC，
∴

1

2

FC=

1

3

AC，
∴3FC=2AC，
3FC=2（AF+FC），
3FC=2AF+2FC，
CF=2AF，
∴AF=FD，
∴四边形AEDF是菱形．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及菱形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形．