Question

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点均在格点上，线段BC经过格点D，请用两种不同的方法说明△ABC是直角三角形．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,勾股定理

专题：

分析：方法一：先由勾股定理，可求得AC²+BC²=AB²，然后根据勾股定理的逆定理，即可判定△ABC是直角三角形；
方法二：先证明△ACE≌△BDF，得出∠CAE=∠DBF，而由CE∥DF得出∠ECB=∠DBF，等量代换得到∠CAE=∠ECB，又∠CAE+∠ACE=90°，所以∠ECB+∠ACE=90°，即∠ACB=90°．

解答：证明：△ABC是直角三角形．如图，
方法一：∵AC²=AE²+EC²=2²+1²=5，BC²=4²+2²=20，AB²=3²+4²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；
方法二：在△ACE与△BDF中，

AE=BF=2 ∠AEC=∠BFD=90° CE=DF=1

，
∴△ACE≌△BDF（SAS），
∴∠CAE=∠DBF．
∵CE∥DF，
∴∠ECB=∠DBF，
∴∠CAE=∠ECB，
又∵∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

点评：此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质．解题的关键是掌握勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握数形结合思想的应用．