[问题解决]已知点P在∠AOB内.过点P分别作关于OA.OB的对称点P1.P2．①如图1.若∠AOB=α.则∠P1OP2=2α,②如图2.连接P1P2分别交OA.OB于C.D.若∠CPD=100°.求∠AOB的度数,(2)[拓展延伸]利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这个结论.解答问题:如图3.在△ABC中.∠BAC=30°.点P是△ABC内部一定点.AP=6.点E.F分� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．【问题解决】已知点P在∠AOB内，过点P分别作关于OA、OB的对称点P₁、P₂．

①如图1，若∠AOB=α，则∠P₁OP₂=2α（用含α的代数式表示）；
②如图2，连接P₁P₂分别交OA、OB于C、D，若∠CPD=100°，求∠AOB的度数；
（2）【拓展延伸】利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3，在△ABC中，∠BAC=30°，点P是△ABC内部一定点，AP=6，点E、F分别在边AB、AC上，请你在图3中画出使△PEF周长最小的点E、F的位置，并直接写出△PEF周长的最小值．

分析【问题解决】①利用轴对称图形的性质得出相等的角，进而得出∠P₁OP₂=∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠3）即可得出答案；
②根据三角形的性质得到∠1+∠2=80°，由轴对称的性质得，∠P₁=∠3，∠P₂=∠4，根据三角形的内角和得到∠2=∠P₁+∠3=2∠3，∠1=∠P₂+∠4=2∠4，根据四边形的内角和即可得到结论；
（2）如图3，分别作出点P关于边AB的对称点P₁，关于边AC的对称点P₂，连结P₁P₂，分别交AB、AC于点E、F，此时△PEF周长最小根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得到结论．

解答解：【问题解决】①如图1，

连接OP，
∵点P关于直线OA的对称点P₁，点P关于直线OB的对称点P₂，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P₁OP₂=∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠3）=2∠AOB=2α；
故答案为：2α；
②如图2，

∵∠CPD=100°，
∴∠1+∠2=80°，
由轴对称的性质得，∠P₁=∠3，∠P₂=∠4，
∵∠2=∠P₁+∠3=2∠3，∠1=∠P₂+∠4=2∠4，
∴∠3+∠4=$\frac{1}{2}$（∠1+∠2）=40°，
∴∠MPN=∠3+∠CPD+∠4=100°+40°=140°，
∵∠PMO=∠PNO=90°，
∴∠AOB=360°-∠PMO-∠PNO-∠MPN=40°；

（2）如图3，

画图方法：
①画点P关于边AB的对称点P₁，
②画点P关于边AC的对称点P₂，
③连结P₁P₂，分别交AB、AC于点E、F，
此时△PEF周长最小．△PEF周长最小值为6．