Question

17．细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
（$\sqrt{1}$）²+1=2，S₁=$\frac{\sqrt{1}}{2}$
（$\sqrt{2}$）²+1=3，S₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（$\sqrt{3}$）²+1=4，S₃=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）计算S₁²+S₂²+S₃²+S₄²+…+S₁₀²的值．

Answer 1

分析 （1）直接根据题中给出的例子找出规律即可；
（2）根据（1）中的规律可得出结论．

解答 解：（1）由题意可知，（$\sqrt{n}$）²+1=n+1，S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$；

（2）∵S_n=$\frac{\sqrt{n}}{2}$，
∴S₁²+S₂²+S₃²+S₄²+…+S₁₀²=（$\frac{\sqrt{1}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+…+（$\frac{\sqrt{10}}{2}$）²
=$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$+…+$\frac{10}{4}$
=$\frac{55}{4}$．

点评 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．