Question

17．在△ABC中，∠A=50°，点D，E分别是边AC，AB上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则∠1+∠2=50°+∠α（用α的代数式表示）；
（2）若点P在ABC的外部，如图（2）所示，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
（3）当点P在边CB的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的∠α，∠1，∠2之间的关系式．（不需要证明）

Answer 1

分析 （1）根据∠AEP=180°-∠2，∠ADP=180°-∠1和四边形AEPD的内角和为360°，表示出∠α，∠1，∠2之间的关系；
（2）根据三角形外角的性质，∠2-∠α=∠1-50°，求出∠α，∠1，∠2之间的关系；
（3）画出符号条件的图形，根据图形和（2）的结论解答即可．

解答 解：（1）∵∠AEP=180°-∠2，∠ADP=180°-∠1，
∴180°-∠2+180°-∠1+∠α+50°=360°，
即∠1+∠2=50°+∠α；
（2）根据三角形外角的性质可知，
∠2-∠α=∠1-50°，
则∠2-∠1=∠α-50°；
（3）如图，

①∠2-∠α=∠1-50°，
则∠2-∠1=∠α-50°；

如图，

②∠1=50°+∠α+∠2，
∠1-∠2=50°+∠α．

点评 本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质的综合运用，灵活运用定理进行计算是解题的关键，在画图时，要全面考虑问题，不要只画出一种．