Question

18．已知二次函数y=x²-2bx+c的图象与x轴只有一个交点．
（1）b、c的关系式为c=b²；
（2）设直线y=9与该抛物线的交点为A、B，则|AB|=6；
（3）若抛物线上有两个点C（m，n）、D（m+4，n），求|CD|及n的值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=x²-2bx+c的图象与x轴只有一个交点得到△=4b²-4c=0，即可求出b和c的关系；
（2）由题可知y=x²-2bx+c=x²-2bx+b²=（x-b）²，令y=9，求出x的值，进而求出|AB|的长；
（3）首先求出|CD|的长，再用m表示出二次函数的对称轴，最后把C（m，n）代入关系式即可求出n的值．

解答 解：（1）∵二次函数y=x²-2bx+c的图象与x轴只有一个交点，
∴△=4b²-4c=0，
∴c=b²，
故答案为c=b²；
（2）y=x²-2bx+c=x²-2bx+b²=（x-b）²，
令y=（x-b）²=9，
解得x=b+3或x=b-3，
即|AB|=b+3-b+3=6，
故答案为6；
（3）∵抛物线上有两个点C（m，n）、D（m+4，n），
∴|CD|=m+4-m=4，
∴对称轴为直线x=$\frac{m+4+m}{2}$=m+2，
∴b=m+2，
∴y=（x-m-2）²，
当x=m时，n=4．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是求出b和c的关系式，此题难度不大．