Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．
（1）求a，b，c值；
（2）求过A、D两点的直线的解析式；
（3）试探究在直线AD的上方的抛物线y=ax²+bx+c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据A、C的坐标，即可求得抛物线的解析式，进而可求出求a，b，c值；
（2）设A、D的解析式为y=kx+b，用待定系数法可确定直线AD的解析式；
（3）假设存在符合条件的E点，过C作CD⊥x轴于D，交直线AD于H；过E作EF⊥x轴于F，交直线AD于P；根据抛物线的对称轴方程及直线AD的解析式，易求得H点的坐标，即可得到CH的长；设出E点横坐标，根据直线AD和抛物线的解析式，可表示出P、E的纵坐标，即可得到PE的长；根据（1）题得到的结论，当PE=CH时，所求的两个三角形面积相等，由此可列出关于E点横坐标的方程，从而求出E点的坐标．（需注意的是E点可能在直线AD的上方或下方，这两种情况下PE的表达式会有所不同，要分类讨论）

解答：解：（1）∵抛物线的顶点坐标是C（1，4），
∴可设抛物线的表达式为y=a（x-1）²+4；
又∵抛物线经过点A（3，0），
∴将其坐标代入上式，得0=a（3-1）²+4，解得a=-1；
∴该抛物线的表达式为y=-（x-1）²+4，
即y=-x²+2x+3，
∴a=-1，b=2，c=3；
（2）D点坐标为（0，3），
设直线AD的表达式为y=kx+3，
代入点A的坐标，得0=3k+3，解得k=-1；
故直线AD的表达式为y=-x+3；
（3）存在，理由如下：如图3，

过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H；则H点的纵坐标为-1+3=2；
∴CH=CG-HG=4-2=2；
设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为-m²+2m+3；
过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为3-m，EF∥CG；
若EP=CH，则△ADE与△ADC的面积相等；
①若E点在直线AD的上方，如图③
则PF=3-m，EF=-m²+2m+3，
∴EP=EF-PF=-m²+2m+3-（3-m）=-m²+3m，
∴-m²+3m=2，
解得m₁=2，m₂=1；
当m=2时，PF=3-2=1，EF=1+2=3；
∴E点坐标为（2，3）；
同理当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合；
②若E点在直线AD的下方，如图④，如图⑤
则PE=（3-m）-（-m²+2m+3）=m²-3m；
∴m²-3m=2，
解得：m₃=

3+ 17

2

，m₄=

3- 17

2

；
当m=

3+ 17

2

时，E点的纵坐标为3-

3+ 17

2

-2=-

1+ 17

2

；
当m=

3- 17

2

时，E点的纵坐标为3-

3- 17

2

-2

-1+ 7

2

；
∴在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E₁（2，3）；E₂（

3+ 17

2

，-

1+ 17

2

）；E₃（

3- 17

2

，

-1+ 17

2

）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、一次函数解析式得确定、解一元二次方程的问题、三角形的面积公式、函数图象交点坐标的求法等知识；同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求高，难度较大．