Question

已知抛物线y=

1

8

ax²-ax-6（a＞0）．
（1）该抛物线的对称轴是直线

 

．
（2）若抛物线与y轴交于点D，与x轴交于点A、B，点C为抛物线的顶点，过点C作CF⊥y轴于点F，直线CD交x轴于点E，如图．
①若DF=CF，求a的值．
②是否存在实数a，使EO=CF？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接利用对称轴公式求出即可；
（2）①利用配方法得出C点坐标，进而得出D点坐标得出DF=OF-OD，进而得出a的值；
②首先得出△ODE∽△FDC，则

OD

FD

=

OE

FC

，即

6

2a

=

OE

FC

，求出a的值即可．

解答：解：（1）由抛物线对称轴公式得出：x=-

b

2a

=4．
故答案为：x=4．

（2）①∵y=

1

8

ax2-ax-6=

1

8

a(x-4)2-2a-6，
∴顶点C的坐标为（4，-2a-6），
即CF=4，OF=2a+6．
又∵y=

1

8

ax2-ax-6中，当x=0时，y=-6，
∴D点坐标为（0，-6）．即OD=6，
则DF=OF-OD=2a+6-6=2a．
故当DF=CF时，有2a=4，解得：a=2．

②存在满足题意的实数a．
∵∠EOD=∠CFD，∠EDO=∠CDF，
∴△ODE∽△FDC，
∴

OD

FD

=

OE

FC

，
即

6

2a

=

OE

FC

．
若EO=CF，那么有2a=6，
解得：a=3．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质以及配方法求二次函数顶点坐标等知识，表示出DF的长是解题关键．