Question

3．如图，AD是△ABC的高，四边形PQRS是矩形，且点P、Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，矩形的长是宽的2倍，其中BC=30cm，AD=20cm．
（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？
（2）求矩形PQRS的面积．

Answer 1

分析 （1）△ASR与△ABC相似，根据矩形的性质得到SR∥BC，于是得到结论；
（2）由矩形PQRS的长是宽的2倍，分两种情况：①当SR=2SP时，通过△ASR∽△ABC，得到$\frac{SR}{BC}=\frac{AE}{AD}$，求出SP=$\frac{60}{7}$，SR=$\frac{120}{7}$，即可得到结果；②当SP=2SR时，根据比例式求得SR=$\frac{15}{2}$，SP=$\frac{30}{2}$，即可得到矩形PQRS的面积=$\frac{225}{2}$．

解答 解：（1）△ASR与△ABC相似，
理由：∵四边形PQRS是矩形，
∴SR∥BC，
∴△ASR∽△ABC；

（2）∵矩形PQRS的长是宽的2倍，
∴①当SR=2SP时，
∵SR∥BC，AD⊥BC，
∴AE⊥SR，
∵△ASR∽△ABC，
∴$\frac{SR}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
∴$\frac{2SP}{30}=\frac{20-SP}{20}$，
∴SP=$\frac{60}{7}$，
∴SR=$\frac{120}{7}$，
∴矩形PQRS的面积=$\frac{7200}{49}$，
②当SP=2SR时，
∴$\frac{SR}{30}=\frac{20-2SR}{20}$，
∴SR=$\frac{15}{2}$，
∴SP=$\frac{30}{2}$，
∴矩形PQRS的面积=$\frac{225}{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．