Question

15．如图，在?ABCD中，过A、B、D三点的⊙O交BC于点E，连接DE，∠CDE=∠DAE．
（1）若AB=3，求DE的长；
（2）判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据圆内接四边形的性质得∠BAD+∠BED=180°，则利用等角的补角相等得到∠DEC=∠BAD，再根据平行四边形的性质得∠C=∠BAD，AB=CD=3，则∠C=∠DEC，于是得到DE=DC=3；
（2）作直径DF，连结AF，如图，由圆周角定理得∠DAF=90°，∠EDF=∠EAF，加上∠CDE=∠DAE，则∠CDE+∠EDF=∠DAE+∠EAF，即∠CDF=90°，所以OF⊥CD，然后根据切线的判定定理可判断直线DC与⊙O相切．

解答 解：（1）∵四边形ABED为圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BED=180°，
而∠BED+∠DEC=180°，
∴∠DEC=∠BAD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C=∠BAD，AB=CD=3，
∴∠C=∠DEC，
∴DE=DC=3；
（2）直线DC与⊙O相切．理由如下：
作直径DF，连结AF，如图，
∵DF为直径，
∴∠DAF=90°，
∵∠EDF=∠EAF，
而∠CDE=∠DAE，
∴∠CDE+∠EDF=∠DAE+∠EAF，即∠CDF=90°，
∴OF⊥CD，
∴直线DC与⊙O相切．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了平行四边形的性质．