Question

10．已知，如图所示：P为等边三角形ABC内的一点，它到三边AB、AC、BC的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高AM=h．则h与 h₁、h₂、h₃有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．

Answer 1

分析 连接PA，PB，PC，由S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB，可得$\frac{1}{2}$BC•h=$\frac{1}{2}$AB•h₁+$\frac{1}{2}$AC•h₂+$\frac{1}{2}$BC•h₃，又由△ABC是等边三角形，即可得h=h₁+h₂+h₃．

解答 解：h=h₁+h₂+h₃，理由如下：
连接PA，PB，PC，
则S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB，
∴$\frac{1}{2}$BC•h=$\frac{1}{2}$AB•h₁+$\frac{1}{2}$AC•h₂+$\frac{1}{2}$BC•h₃，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h=h₁+h₂+h₃．

点评 此题考查了等边三角形的性质与三角形面积的求解方法．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．