Question

12．如图，已知直线y=kx+b与双曲线y=$\frac{3}{x}$相交于点A，B，与x轴相交于点C，矩形DEFG的顶点D在直线AB上，E，F在x轴上，点G在双曲线上，若DE=1.5，CE=2，点A的横坐标是1．
（1）点A的坐标为（1，3）；点G的坐标为（2，1.5）；
（2）用含k，b的式子表示点C和点E的坐标，并求k的值．

Answer 1

分析 （1）先根据A的横坐标代入y=$\frac{3}{x}$中，可得A的纵坐标，利用矩形的宽可知G的纵坐标为1.5，从而可得G的横坐标；
（2）令x=0和y=0代入直线y=kx+b中可得OP和OC的长，表示点C和点E的坐标，利用tan∠PCO=$\frac{DE}{CE}=\frac{OP}{OC}$，列式可得k的值．

解答 解：（1）当x=1时，y=3，
∴A（1，3），
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF=DE=1.5，GF⊥EF，
即GF⊥x轴，
∴G的纵坐标为1.5，
当y=1.5时，1.5=$\frac{3}{x}$，
∴x=2，
∴G（2，1.5），
故答案为：（1，3）；（2，1.5）；
（2）y=kx+b，
当x=0时，y=b，
∴OP=b，
当y=0时，kx+b=0，
x=-$\frac{b}{k}$，
∴OE=$\frac{b}{k}$-2，
∴C（-$\frac{b}{k}$，0），E（2-$\frac{b}{k}$，0），
tan∠PCO=$\frac{DE}{CE}=\frac{OP}{OC}$，
∴$\frac{1.5}{2}=\frac{b}{\frac{b}{k}}$，
k=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、利用解析式可得点的坐标、同角的三角函数、图形与点的坐标特点及矩形的性质，注意数形结合是关键．