Question

4．△ABC中，CA=CB，CD是中线，AE⊥BC于E交CD于F，求证：①△CBD∽△AFD，②DE²=DF•DC．

Answer 1

分析 （1）利用∠DAF=∠DCB和∠ADF=∠CDB，即可得出△ADE∽△FDB；
（2）由△ADF∽△CDB，可得$\frac{DF}{DB}$=$\frac{DA}{DC}$，再由DE是Rt△ABE斜边上的中线，得出DA=DB=DE，即可得出DE²=DC•DF．

解答 解：（1）∵△ABC中，CA=CB，CD是中线，
∴CD⊥AB，
∴∠ADF=∠CDB=90°，
又∵AE⊥BC，∠ABE=∠CBD，
∴∠DAF=∠DCB，
∴△CBD∽△AFD；

（2）∵△ADF∽△CDB，
∴$\frac{DF}{DB}$=$\frac{DA}{DC}$，即DB•DA=DF•DC，
又∵DE是Rt△ABE斜边上的中线，
∴DA=DB=DE，
∴DE²=DC•DF．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的性质，解题时注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．